- PII
- 10.31857/S0374064125040016-1
- DOI
- 10.31857/S0374064125040016
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 61 / Issue number 4
- Pages
- 435-447
- Abstract
- In the works of I.A. Lappo-Danilevsky, in particular, the solutions of a system of linear ordinary differential equations in the vicinity of an isolated pole of arbitrary finite order were investigated. For the fundamental matrix of solutions of such a system, a series was obtained that absolutely converges in the punctured (annular) neighborhood of the pole. At the same time, recurrent relations of a rather complex type were found for the numerical coefficients of the specified series, which do not depend on the type of the system of equations. In this paper, explicit formulas for these coefficients are obtained for the first time. As an example, the results obtained are used to find the analytical formula for the trace of the monodromy matrix of an arbitrary regular singular point of the specified system of equations.
- Keywords
- дифференциальное уравнение на комплексной плоскости особая точка уравнения метод Лаппо-Данилевского
- Date of publication
- 18.09.2025
- Year of publication
- 2025
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 4
References
- 1. Лаппо-Данилевский, И.А. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений / И.А. Лаппо-Данилевский. — Л., М. : ОНТИ ГТТИ, 1934. — 144 с.
- 2. Lappo-Danilevsky, I.A., Teoriya funkcij ot matric i sistemy linejnykh differencial’nykh uravnenij (Theory of Functions on Matrices and Systems of Linear Differential Equations), Leningrad, Moscow: ONTI STTP, 1934.
- 3. Lappo-Danilevsky, I.A. Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires. Vol. I / J.A. Lappo-Danilevsky // Тр. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1934. — Т. 6. — С. 1–256.
- 4. Lappo-Danilevsky, I.A. Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires. Vol. II / J.A. Lappo-Danilevsky // Тр. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1935. — Т. 7. — С. 5–210.
- 5. Lappo-Danilevsky, I.A. Memoires sur la theorie des systemes des equations differentielles lineaires. Vol. III / J.A. Lappo-Danilevsky // Тр. Физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. — 1936. — Т. 8. — С. 5–210.
- 6. Лаппо-Данилевский, И.А. Применение функций от матриц к теории линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / И.А. Лаппо-Данилевский. — М. : ГИТТЛ, 1957. — 456 с.
- 7. Lappo-Danilevsky, I.A., Primenenie funkcij ot matric k teorii linejnykh sistem obyknovennykh differecial’nykh uravnenij (Application of Functions from Matrices to the Theory of Linear Systems of Ordinary Differential Equations), Moscow: GITTL, 1957.
- 8. Еругин, Н.П. О показательной подстановке системы линейных дифференциальных уравнений (проблема Пуанкаре) / Н.П. Еругин // Мат. сб. — 1938. — Т. 45, № 3. — С. 509–526.
- 9. Erouguine, N.P., O pokazatel’noj podstanovke sistemy linejnykh differencial’nykh uravnenij (problema Puankare) (On the exponential substitution of a system of linear differential equations (Poincare problem)), Matematicheskij sbornik, 1938, vol. 45, no. 3, pp. 509–526.
- 10. Еругин, Н.П. Метод Лаппо-Данилевского в теории линейных дифференциальных уравнений / Н.П. Еругин. — Л. : Изд-во ЛГУ, 1956. — 108 с.
- 11. Erouguine, N.P., Metod Lappo-Danilevskogo v teorii linejnykh differencial’nykh uravnenij (The Lappo-Danilevsky Method in the Theory of Linear Differential Equations), Leningrad: Izd-vo LGU, 1956.
- 12. Еругин, Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими и квазипериодическими коэффициентами / Н.П. Еругин. — Минск : Изд-во АН БССР, 1963. — 272 с.
- 13. Erouguine, N.P., Linejnye sistemy obyknovennykh differencial’nykh uravnenij s periodicheskimi i kvaziperiodicheskimi koehfficientami (Linear Systems of Ordinary Differential Equations with Periodic and Quasi-Periodic Coefficients), Minsk: Izd-vo AN BSSR, 1963.
- 14. Еругин, Н.П. О поведении решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки / Н.П. Еругин // Дифференц. уравнения. — 1979. — Т. 15, № 11. — С. 1950–1959.
- 15. Erouguine, N.P., O povedenii reshenij linejnoj odnorodnoj sistemy differencial’nykh uravnenij v okrestnosti osoboj tochki (On the behavior of solutions of a linear homogeneous system of differential equations in the vicinity of a singular point), Differ. Uravn., 1979, vol. 15, no. 11, pp. 1950–1959.
- 16. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — 2-е изд., доп. — М. : Наука, 1966. — 576 с.
- 17. Gantmacher, F.R., The Theory of Matrices, AMS Chelsea Publishing, 1959.
- 18. Смирнов, В.И. Курс высшей математики. Том III. Часть 2 / В.И. Смирнов. — 10-е изд. — СПб. : БХВ-Петербург, 2010. — 816 с.
- 19. Smirnov, V.I., Kurs vysshej matematiki. Tom III. Chast’ 2 (Higher Mathematics Course. Vol. 3. Part 2), Saint Peterb.: BHV-Peterburg, 2010.
- 20. Коддингтон, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон ; пер. с англ. Б.М. Левитана. — М. : Изд-во ИЛ, 1958. — 474 с.
- 21. Coddington, E.A. and Levinson, N., Theory of Ordinary Differential Equations, New York: McGraw-Hill, 1955.
- 22. Вазов, В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Вазов ; пер. с англ. В.Ф. Бутузова, М.В. Федорюк ; под ред. А.Б. Васильевой. — М. : Мир, 1968. — 464 с.
- 23. Wasow, W., Asymptotic Expansions for Ordinary Differential Equations, New York: Dover Publications, 1988.
- 24. Олвер, Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер ; пер. с англ. Ю.А. Брычкова ; под ред. А.П. Прудникова. — М. : Наука, 1990. — 528 с.
- 25. Olver, F.W.J., Asymptotics and Special Functions, New York: Academic Press, 1974.
- 26. Sternin, B. Borel–Laplace Transform and Asymptotic Theory. Introduction to Resurgent Analysis / B. Sternin, V. Shatalov. — Boca Raton : CRC Press, 1996. — 264 p.
- 27. Кац, Д.С. Вычисление асимптотик решений уравнений с полиноминальными вырождениями коэффициентов / Д.С. Кац // Дифференц. уравнения. — 2015. — Т. 51, № 12. — С. 1612–1617.
- 28. Kats, D.S., Computation of the asymptotics of solutions for equations with polynomial degeneration of the coefficients, Differ. Equat., 2015, vol. 51, no. 12, pp. 1589–1594.
- 29. Коровина, М.В. О равномерных асимптотиках решений дифференциальных уравнений второго порядка с мероморфными коэффициентами в окрестности особых точек / М.В. Коровина, О.А. Матевосян // Сиб. электрон. мат. изв. — 2023. — Т. 20, № 1. — С. 251–261.
- 30. Korovina, M.V. and Matevossian, H.A., O ravnomernykh asimptotikakh reshenij differencial’nykh uravnenij vtorogo poryadka s meromorfnymi koehfficientami v okrestnosti osobykh tochek (On uniform asymptotics of solutions of second-order differential equations with meromorphic coefficients in a neighbohood of singular points), Siberian Electronic Mathematical Reports, 2023, vol. 20, no. 1, pp. 251–261.
- 31. Федорюк, М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / М.В. Федорюк. — М. : Наука, 1983. — 352 с.
- 32. Fedoryuk, M.V., Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations, Berlin: Springer-Verlag, 1993.
- 33. Голубков, А.А. Квазибезмонодромные особые точки уравнения Штурма–Лиувилля стандартного вида на комплексной плоскости / А.А. Голубков // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 8. — С. 1032–1038.
- 34. Golubkov, A.A., Monodromy-Quasifree Singular Points of the Sturm–Liouville Equation of Standard Form on the Complex Plane, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 8, pp. 1021–1027.
- 35. Голубков, А.А. Квазибезмонодромные системы дифференциальных уравнений первого порядка с параметром / А.А. Голубков // Итоги науки и техн. Соврем. математика и ее приложения. Темат. обз. — 2023. — Т. 225. — С. 59–68.
- 36. Golubkov, A.A., Kvazibezmonodromnye sistemy differencial’nykh uravnenij pervogo poryadka s parametrom (Quasi-monodromic systems of first-order differential equations with a parameter), Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2023, vol. 225, pp. 59–68.
- 37. Голубков, А.А. Регулярная циклическая матрица изолированной особой точки уравнения Штурма–Лиувилля стандартного вида / А.А. Голубков // Итоги науки и техн. Соврем. Математика и ее приложения. Темат. обз. — 2024. — Т. 233. — С. 3–13.
- 38. Golubkov, A.A., Regulyarnaya ciklicheskaya matrica izolirovannoj osoboj tochki uravneniya Shturma–Liuvillya standartnogo vida (A regular cyclic matrix of an isolated singular point of the Sturm–Liouville equation of the standard form), Itogi Nauki i Tekhniki. Sovremennaya Matematika i ee Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, 2024, vol. 233, pp. 3–13.
- 39. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. — 4-е изд., испр. — М. : Наука, 1973. — 736 с.
- 40. Lavrent’ev, M.A. and Shabat, B.V., Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo (Methods of the theory of functions of a complex variable), Moscow: Nauka, 1973.
