- PII
- 10.31857/S0374064125040077-1
- DOI
- 10.31857/S0374064125040077
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 61 / Issue number 4
- Pages
- 523-544
- Abstract
- We construct asymptotics of natural oscillations of elastic junctions composed of a thin horizontal plate and several vertical rods joined to it. This construction is rigidly fixed along the plate edge and the exterior end-faces of the rods while physical properties of its elements are chosen such that in the mid-frequency range of the spectrum the limiting spectral problems consists of a self-adjoint operator obtained as extensions of differential operators, namely, a bi-harmonic one in plate’s longitudinal section and ordinary second-order differential operators at rod’s axes. The low-frequency range of the spectrum is formed by eigenvalues of the Dirichlet problem for ordinary forth-order differential operators describing transverse oscillations of rods with fixed ends. Justification of asymptotic formulas is performed by means of anisotropic Korn’s inequality and the classical lemma on “almost eigenvalues”.
- Keywords
- сочленение пластины и стержней асимптотика собственных значений пограничный слой
- Date of publication
- 19.09.2025
- Year of publication
- 2025
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 9
References
- 1. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю.Н. Работнов. — М. : Наука, 1979. — 743 c.
- 2. Rabotnov, Yu.N., Mekhanika deformiruyemogo tverdogo tela (Mechanics of Deformable Solids), Moscow: Nauka, 1979.
- 3. Назаров, С.А. Модели упругого сочленения пластины со стержнями, основанные на точечных условиях Соболева и самосопряжённых расширениях дифференциальных операторов / С.А. Назаров // Дифференц. уравнения. — 2021. — Т. 57, № 5. — С. 700–716.
- 4. Nazarov, S.A., Models of elastic joint of a plate with rods based on Sobolev point conditions and self-adjoint extensions of differential operators, Differ. Equat., 2021, vol. 57, no. 5, pp. 683–699.
- 5. Шойхет, Б.А. Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры / Б.А. Шойхет // Прикл. математика и механика. — 1973. — Т. 37, № 5. — С. 913–924.
- 6. Shoikhet, B.A., On asymptotically exact equations of thin plates of complex structure, J. Appl. Math. Mech., 1973, vol. 37, no. 5, pp. 867–877.
- 7. Sanchez-Hubert, J. Couplage flexion-torsion-traction dans les poutres anisotropes a section heterogene / J. Sanchez-Hubert, ’E. Sanchez-Palencia // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 2. — 1991. — V. 312. — P. 337–344.
- 8. Sanchez-Hubert, J. Coques Elastiques Minces: Propri’et’es Asymptotiques / J. Sanchez-Hubert, ’E. Sanchez-Palencia. — Paris : Masson, 1997. — 376 p.
- 9. Назаров, С.А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки / С.А. Назаров. — Новосибирск : Научная книга, 2002. — 408 c.
- 10. Nazarov, S.A. Asimptoticheskaya teoriya tonkikh plastin i sterzhney. Ponizheniye razmernosti i integral’nyye otsenki (Asymptotic Theory of Plates and Rods. Dimension Reduction and Integral Estimates), Novosibirsk: Nauchnaya Kniga, 2002.
- 11. Panassenko, G. Multi-Scale Modelling for Structures and Composites / G. Panassenko. — Dordrecht : Springer, 2005. — 398 p.
- 12. Junction of elastic plates and beams / A. Gaudiello, R. Monneau, J. Mossino [et al.] // ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations. — 2007. — V. 13, № 3. — P. 419–457.
- 13. Blanchard, D. Asymptotic behavior of a structure made by a plate and a straight rod / D. Blanchard, G. Griso // Chinese Annals of Mathematics. Ser. B. — 2013. — V. 34, № 3. — P. 399–434.
- 14. Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики / О.А. Ладыженская. — М. : Наука, 1973. — 408 с.
- 15. Ladyzhenskaya, O.A., The Boundary Value Problems of Mathematical Physics, New York: Springer-Verlag, 1985.
- 16. Лионс, Ж.-Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес ; пер. с фр. Л.С. Франка ; под ред. В.В. Грушина. — М. : Мир, 1971. — 372 c.
- 17. Lions, J.-L. and Magenes, E., Probl`emes aux Limites Non-Homog`enes et Applications, vol. 1, Paris: Dunod, 1968.
- 18. Бирман, М.Ш. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве / М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк. — Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. — 264 с.
- 19. Birman, M.Sh. and Solomjak, M.Z., Spectral Theory of Self-Adjoint Operators in Hilbert Space, Dordrecht: Reidel, 1987.
- 20. Назаров, С.А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней / С.А. Назаров // Успехи мат. наук. — 2008. — Т. 63, № 1. — С. 37–110.
- 21. Nazarov, S.A., Korn’s inequalities for elastic junctions of massive bodies and thin plates and rods, Russ. Math. Surv., 2008, vol. 63, no. 1, pp. 35–107.
- 22. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для системы теории упругости в неограниченных областях. Неравенство Корна / В.А. Кондратьев, O.А. Олейник // Успехи мат. наук. — 1988. — T. 43, № 5. — C. 55–98.
- 23. Kondrat’ev, V.A. and Oleinik, O.A., Boundary-value problems for the system of elasticity theory in unbounded domains. Korn’s inequalities, Russ. Math. Surv., 1988, vol. 43, no. 5, pp. 65–119.
- 24. Капешина, Ю.Е. Взаимодействия нулевого радиуса для бигармонического и полигармонического уравнений / Ю.Е. Капешина, Б.С. Павлов // Мат. заметки. — 1986. — Т. 40, № 1. — С. 49–59.
- 25. Kapeshina, Yu.E. and Pavlov, B.S., Zero radius interaction for the biharmonic and polyharmonic equations, Math. Notes, 1986, vol. 40, no. 1, pp. 528–533.
- 26. Nazarov, S.A. Elliptic Problems in Domains with Piecewise Smooth Boundaries / S.A. Nazarov, B.A. Plamenevsky. — Berlin ; New York : Walter de Gruyter, 1994. — 525 p.
- 27. Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / В.А. Кондратьев // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1963. — Т. 16. — С. 219–292.
- 28. Kondrat’ev, V.A., Boundary value problems for elliptic equations in domains with conical or corner points, Trudy Mosk. Mat. Ob-va, 1963, vol. 16, pp. 219–292.
- 29. Назаров, С.А. Асимптотические разложения на бесконечности решений задачи теории упругости в слое / С.А. Назаров // Тр. Моск. мат. об-ва. — 1998. — Т. 60. — С. 3–97.
- 30. Nazarov, S.A., Asymptotic expansions at infinity of solutions to the elasticity theory problem in a layer, Trans. Moscow Math. Soc., 1999, vol. 60, pp. 1–85.
- 31. Ильин, А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач /А.М. Ильин. — М. : Наука, 1989. — 336 с.
- 32. Il’in, A.M., Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1992.
