We consider the differential inclusion F(t,x,x˙)∋0 with the constraint x˙(t)∈B(t), t∈[a,b], on the derivative of the unknown function, where F and B are set-valued mappings, F:[a,b]×Rn×Rn×Rm⇉ is superpositionally measurable, and B:[a,b]⇉Rn is measurable. In terms of the properties of ordered covering and the monotonicity of set-valued mappings acting in finite-dimensional spaces, for the Cauchy problem we obtain conditions for the existence and estimates of solutions as well as conditions for the existence of a solution with the smallest derivative. Based on these results, we study a control system of the form f(t,x,x˙,u)=0, x˙(t)∈B(t), u(t)∈U(t,x,x˙), t∈[a,b].
Рассматривается дифференциальное включение $F(t,x,\dot{x})\ni 0$ с ограничением на производную искомой функции $\dot{x}(t)\in B(t),$ $t\in [a,b],$ где $F,$ $B $ -- многозначные отображения, $F:[a,b]\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m\rightrightarrows\mathbb{R}^k$ суперпозиционно измеримо, $B:[a,b]\rightrightarrows\mathbb{R}^n$ измеримо. В терминах свойств упорядоченного накрывания и монотонности многозначных отображений, действующих в конечномерных пространствах, для задачи Коши получены условия существования и оценки решений, условия существования решения с наименьшей производной. На основе этих результатов исследуется управляемая система вида $f(t,x,\dot{x},u)=0,$ $\dot{x}(t)\in B(t),$ $u(t)\in U(t,x,\dot{x}),$ $t\in [a,b].$