We study the first and second boundary value problems and the transmission problem for the complex potential of a two-dimensional filtration flow in an anisotropic and inhomogeneous (variable permeability and thickness) porous layer. The flow sources are arbitrary discrete and can generally be located both on the boundaries and outside the boundaries. The boundaries are modeled by arbitrary smooth (piecewise smooth) closed lines, and the flow sources are singularities (isolated singular points) of the complex potential. The presence of a system of sources on the boundaries leads to a fundamentally new generalization (complication) of the boundary conditions, which are characterized by singular functions with isolated singular points. In the case of an anisotropic homogeneous (constant permeability and thickness) layer and rectilinear boundaries, the solutions of the problems are presented in closed form. In the general case, when an arbitrary smooth closed curve models a boundary with sources located on it, a generalized Cauchy type integral for the complex flow potential is used. This permitted reducing the second boundary value problem and the transmission problem to boundary singular integral equations. The problems studied are mathematical models of two-dimensional filtration processes in layered porous media, which are of interest, for example, for the practice of extracting fluids (oil, water) from natural anisotropically heterogeneous soil layers.
Исследуются первая и вторая краевые задачи и задача сопряжения для комплексного потенциала двумерного фильтрационного течения в анизотропном и неоднородном (переменной проницаемости и толщины) пористом слое. Источники течения произвольные дискретные и могут располагаться в общем случае как на границах, так и вне границ. Границы моделируются произвольными гладкими (кусочно-гладкими) замкнутыми линиями, а источники течения -- сингулярностями (изолированными особыми точками) комплексного потенциала. Наличие системы источников на границах приводит к принципиально новому обобщению (усложнению) граничных условий, которые характеризуются сингулярными функциями с изолированными особыми точками. В случае анизотропного однородного (постоянной проницаемости и толщины) слоя и прямолинейных границ решения задач представлены в конечном виде. В общем случае, когда произвольная гладкая замкнутая кривая моделирует границу с расположенными на ней источниками, использован обобщённый интеграл типа Коши для комплексного потенциала течения. Это позволило вторую краевую задачу и задачу сопряжения редуцировать к граничным сингулярным интегральным уравнениям. Исследованные задачи -- математические модели двумерных фильтрационных процессов в слоистых пористых средах, представляющие интерес, например, для практики добычи флюидов (нефти, воды) из природных анизотропно-неоднородных пластов грунта.