- PII
- 10.31857/S0374064125040064-1
- DOI
- 10.31857/S0374064125040064
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 61 / Issue number 4
- Pages
- 504-522
- Abstract
- For the hyperbolic biwave equation with nonlinear lower terms given in the first quadrant of Euclidean space, we consider a mixed problem in which the Cauchy conditions are specified on the spatial semi-axis, and Dirichlet and Wentzel conditions are specified on the temporal semi-axis. The solution is constructed by the method of characteristics in an implicit form as a solution of some integrodifferential equations. The solvability of these equations, as well as the dependence on the initial data and the smoothness of their solutions, is studied using the parameter continuation method and a priori estimates. For the problem under consideration, the uniqueness of the solution is proved and conditions under which there exists a classical solution are established. If the matching conditions are not met, then a problem with conjugation conditions is constructed, and if the data is not smooth enough, then a mild solution is constructed.
- Keywords
- смешанная задача классическое решение биволновое уравнение полулинейное уравнение условия согласования метод продолжения по параметру
- Date of publication
- 18.09.2025
- Year of publication
- 2025
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 7
References
- 1. Ortner, N. Solution of the initial-boundary value problem for the simply supported semi-infinite Timoshenko beam / N. Ortner, P. Wagner // J. Elasticity. — 1996. — V. 42. — P. 217–241.
- 2. Fushchych, W.I. Symmetry and some exact solutions of non-linear polywave equations / W.I. Fushchych, O.V. Roman, R.Z. Zhdanov // Europhysics Letters. — 1995. — V. 31, № 2. — P. 75–79.
- 3. Arosio, A. On the nonlinear Timoshenko–Kirchhoff beam equation / A. Arosio // Chinese Annals of Mathematics. — 1999. — V. 20. — P. 495–506.
- 4. Panizzi, S. Abstract nonlinear Timoshenko beam equation / S. Panizzi // Rendiconti del Seminario Matematico della Universit`a di Padova. — 1991. — V. 86. — P. 193–205.
- 5. Arosio, A. Global bounded weak solutions for an abstract nonlinear Timoshenko beam equation with four propagation speeds / A. Arosio, S. Panizzi // Funkcialaj Ekvacioj. — 1993. — V. 36. — P. 109–121.
- 6. Корзюк, В.И. Классическое решение задачи Коши для полулинейного гиперболического уравнения в случае двух независимых переменных / В.И. Корзюк, Я.В. Рудько // Изв. вузов. Математика. — 2024. — № 3. — С. 50–63.
- 7. Корзюк, В.И. Смешанная задача с интегральным условием для одномерного биволнового уравнения / В.И. Корзюк, Н.В. Винь // Дифференц. уравнения. — 2018. — Т. 54, № 6. — С. 803–814.
- 8. Korzyuk, V.I. and Rudzko, J.V., Classical solution to the Cauchy problem for a semilinear hyperbolic equation in the case of two independent variables, Russ. Math., 2024, no. 3, pp. 41–52.
- 9. Korzyuk, V. Classical solution of the Cauchy problem for biwave equation: application of Fourier transform / V. Korzyuk, V.V. Nguyen, N.T. Minh // Math. Model. Anal. — 2012. — V. 17, № 5. — P. 630–641.
- 10. Корзюк, В.И. Классическое решение первой смешанной задачи в криволинейном квадранте для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом / В.И. Корзюк, Я.В. Рудько // Дифференц. уравнения. — 2023. — Т. 59, № 8. — С. 1070–1083.
- 11. Korzyuk, V.I and Rudzko, J.V. Classical solution of the first mixed problem for the telegraph equation with a nonlinear potential in a curvilinear quadrant, Differ. Equat., 2023, vol. 59, no. 8, pp. 1075–1089.
- 12. Polyanin, A.D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists / A.D. Polyanin, V.E. Nazaikinskii. — London ; New York : Chapman and Hall/CRC, 2016. — 1631 p.
- 13. Корзюк, В.И. Классическое решение первой смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в криволинейной полуполосе с переменными коэффициентами / В.И. Корзюк, И.И. Столярчук // Дифференц. уравнения. — 2017. — Т. 53, № 1. — С. 74–85.
- 14. Korzyuk, V.I. and Stolyarchuk, I.I., Classical solution of the first mixed problem for second-order hyperbolic equation in curvilinear half-strip with variable coefficients, Differ. Equat., 2017, vol. 53, no. 1, pp. 74–85.
- 15. Brunner, H. Volterra Integral Equations. An Introduction to Theory and Applications / H. Brunner. — Cambridge : Cambridge University Press, 2017. — 405 p.
- 16. Корзюк, В.И. Классическое решение первой смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом / В.И. Корзюк, Я.В. Рудько // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 2. — С. 174–184.
- 17. Korzyuk, V.I and Rudzko, J.V., Classical solution of the first mixed problem for the telegraph equation with a nonlinear potential, Differ. Equat., 2022, vol. 58, no. 2, pp. 175–186.
- 18. Trenogin, V.A. Invertibility of nonlinear operators and parameter continuation method / V.A. Trenogin // Spectral and Scattering Theory / Eds. A.G. Ramm. — Boston : Springer, 1998. — P. 189–197.
- 19. Roˇzdestvenski˘ı, B.L. Systems of Quasilinear Equations and Their Applications to Gas Dynamics / B.L. Roˇzdestvenski˘ı, N.N. Janenko. — Providence : Amer. Math. Soc., 1983. — 676 p.
- 20. Хромов, А.П. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача для волнового уравнения простейшего вида / А.П. Хромов // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. — 2022. — Т. 22, № 3. — C. 322–331.
- 21. Khromov, A.P., Divergent series and a generalized mixed problem for the wave equation of the simplest form, Izv. Saratov. Univ. Nov. Ser.: Mat. Mekh. Inf., 2022, vol. 22, no. 3, pp. 322–331.
- 22. Evans, L.C. Partial Differential Equations / L.C. Evans. — Providence : Amer. Math. Soc., 2010. — 749 p.
- 23. Bondar, L.N. Cauchy problem for one pseudohyperbolic system / L.N. Bondar, G.V. Demidenko, G.M. Pintus // Comput. Math. Math. Phys. — 2020. — V. 60, № 4. — P. 615–627.
- 24. Егоров, Ю.В. К теории обобщённых функций // Ю.В. Егоров // Успехи мат. наук. — 1990. — Т. 45, № 5. — С. 3–40.
- 25. Egorov, Yu.V., A contribution to the theory of generalized functions, Russ. Math. Surv., 1990, vol. 45, no. 5, pp. 1–49.
- 26. Zeidler, E. Nonlinear Functional Analysis and its Applications. Part II/B: Nonlinear Monotone Operators / E. Zeidler. — New York : Springer, 1990. — 756 p.
