- PII
- 10.31857/S0374064125020093-1
- DOI
- 10.31857/S0374064125020093
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 61 / Issue number 2
- Pages
- 242-260
- Abstract
- The paper considers the numerical solution of the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations. Special attention is paid to problems with limiting singular points on integral curves. It is known that traditional explicit methods for solving the Cauchy problem are ineffective for this class of problems. Implicit methods are much more difficult to use and do not always lead to the result of the desired accuracy. Therefore, along with traditional methods of numerical integration of the Cauchy problem authors use the method of solution continuation with respect to the best argument (also known as the best parameterization and the arc length method). The best argument is calculated tangentially along the integral curve of the problem under consideration. For the Cauchy problems transformed to the best argument, the authors in this paper present the results of a study of the local error for the numerical solution obtained by the explicit Euler method. An estimate of the numerical solution local error of the numerical solution for the Cauchy problem transformed to the best argument is obtained for the explicit Euler method. Using it, an upper estimate of the local error was obtained and the effectiveness of using the best argument was proved. This is reflected in a decrease of the solution local error for the transformed problem in the neighborhood of the limiting singular points. The theoretical results are compatible with the numerical solution of the ill-conditioned initial value problem of deformable solid mechanics with one limiting singular point.
- Keywords
- явный метод Эйлера локальная погрешность задача Коши система обыкновенных дифференциальных уравнений наилучшая параметризация предельная особая точка
- Date of publication
- 19.09.2025
- Year of publication
- 2025
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 16
References
- 1. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер ; пер. с англ. И.А. Кульчицкой, С.С. Филиппова ; под ред. С.С. Филиппова. — М. : Мир, 1990. — 512 с.
- 2. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер ; пер. с англ. Е.Л. Старостина, И.А. Кульчицкой, А.В. Тыглияна, С.С. Филиппова ; под ред. С.С. Филиппова. — М. : Мир, 1999. — 685 с.
- 3. Скворцов, Л.М. Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциальноалгебраических уравнений / Л.М. Скворцов. — М. : ДМК-Пресс, 2018. — 230 с.
- 4. Новиков, Е.А. Моделирование жестких гибридных систем / Е.А. Новиков, Ю.В. Шорников. — СПб. : Лань, 2019. — 420 с.
- 5. Шалашилин, В.И. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике / В.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов. — М. : Эдиториал УРСС, 1999. — 224 с.
- 6. Григолюк, Э.И. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твёрдого деформируемого тела / Э.И. Григолюк, В.И. Шалашилин. — М. : Наука, 1988. — 232 с.
- 7. Кузнецов, Е.Б. Задача Коши как задача продолжения по наилучшему параметру / Е.Б. Кузнецов, В.И. Шалашилин // Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 6. — С. 964–971.
- 8. Некоторые количественные оценки эффективности преобразования задачи Коши для дифференциальных уравнений к наилучшему аргументу / А.Н. Данилин, Н.Н. Зуев, Е.Б. Кузнецов, В.И. Шалашилин // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 1999. — Т. 39, № 7. — С. 1134–1141.
- 9. Кузнецов, Е.Б. К оценке локальной погрешности численного решения параметризованной задачи Коши / Е.Б. Кузнецов, С.С. Леонов // Успехи мат. наук. — 2022. — Т. 77, № 3 (465). — С. 171– 172.
- 10. Бахвалов, Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. — М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — 632 с.
- 11. Амосов, А.А. Вычислительные методы для инженеров / А.А. Амосов, Ю.А. Дубинский, Н.В. Копченова. — М. : Высшая школа, 1994. — 544 с.
- 12. Курант, Р. Методы математической физики. Т. 1 / Р. Курант, Д. Гильберт. — М., Л. : Государственное технико-техническое издательство, 1933. — 525 с.
- 13. Соснин, О.В. Энергетический вариант теории ползучести / О.В. Соснин, Б.В. Горев, А.Ф. Никитенко. — Новосибирск : Институт гидродинамики СО АН СССР, 1986. — 96 с.
- 14. Описание процесса ползучести и разрушения современных конструкционных материалов с использованием кинетических уравнений в энергетической форме / Б.В. Горев, И.В. Любашевская, В.А. Панамарев, С.В. Иявойнен // Прикл. механика и техн. физика. — 2014. — Т. 55, № 6. — С. 132–144.
