- PII
- 10.31857/S0374064124060032-1
- DOI
- 10.31857/S0374064124060032
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 60 / Issue number 6
- Pages
- 750-763
- Abstract
- We study the Monge–Amp`ere equation with three independent variables which occurs in electron magnetohydrodynamics. A group analysis of this strongly nonlinear partial derivative equation is carried out. An eleven-parameter transformation preserving the form of the equation is found. A formula is obtained that makes it possible to construct multiparametric families of solutions based on simpler solutions. Two-dimensional reductions leading to simpler partial differential equations with two independent variables. One-dimensional reductions are described, which make it possible to obtain self-similar and other invariant solutions that satisfy ordinary differential equations. Exact solutions with additive, multiplicative and generalized separation of variables are constructed, many of which admit representation in elementary functions. The obtained results and exact solutions can be used to evaluate the accuracy and analyze the adequacy of numerical methods for solving initial boundary value problems described by strongly nonlinear partial differential equations.
- Keywords
- уравнение Монжа–Ампера групповой анализ редукция точное решение
- Date of publication
- 19.09.2025
- Year of publication
- 2025
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 7
References
- 1. Smirnov, V.V. “Phonons” in two-dimensional vortex lattices / V.V. Smirnov, K.V. Chukbar // J. Experiment. Theor. Phys. — 2001. — V. 93, № 1. — P. 126–135.
- 2. Zaburdaev, V.Yu. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices / V.Yu Zaburdaev, V.V. Smirnov, K.V. Chukbar // Plasma Physics Reports. — 2014. — V. 30, № 3. — P. 214–217.
- 3. Крылов Н.В. Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения / Н.В. Крылов // Сиб. мат. журн. — 1976. — Т. 17, № 2. — С. 290–303.
- 4. Chen, L. Convex-monotone functions and generalized solution of parabolic Monge–Amp`ere equation / L. Chen, G. Wang, S. Lian // J. Differ. Equat. — 2002. — V. 186, № 2. — P. 558–571.
- 5. Xiong, J. On Jorgens, Calabi, and Pogorelov type theorem and isolated singularities of parabolic Monge–Amp`ere equations / J. Xiong, J. Bao // J. Differ. Equat. — 2011. — V. 250, № 1. — P. 367–385.
- 6. Tang, L. Regularity results on the parabolic Monge–Amp`ere equation with VMO type data / L. Tang // J. Differ. Equat. — 2013. — V. 255, № 7. — P. 1646–1656.
- 7. Dai, L. Exterior problems for a parabolic Monge–Amp`ere equation / L. Dai // Nonlin. Anal. Theory, Methods & Appl. — 2014. — V. 100. — P. 99–110.
- 8. Tang, L. Boundary regularity on the parabolic Monge–Amp`ere equation / L. Tang // J. Differ. Equat. — 2015. — V. 259. — P. 6399–6431.
- 9. Погорелов, А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей / А.В. Погорелов. — М. : Наука, 1969. — 760 с.
- 10. Polyanin, A.D. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations / A.D. Polyanin, V.F. Zaitsev. — 2nd ed. — Boca Raton : CRC Press, 2012. — 1876 p.
- 11. Хабиров, С.В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа–Ампера / С.В. Хабиров // Мат. сб. — 1990. — Т. 181, № 12. — С. 1607–1622.
- 12. Sulman, M.M. An efficient approach for the numerical solution of the Monge–Amp`ere equation / M.M. Sulman, J.F. Williams, R.D. Russell // Appl. Numer. Math. — 2011. — V. 61, № 3. — P. 298–307.
- 13. Feng, X. Nonstandard local discontinuous Galerkin methods for fully nonlinear second order elliptic and parabolic equations in high dimensions / X. Feng, T. Lewis // J. Scient. Comput. — 2018. — V. 77, № 3. — P. 1534–1565.
- 14. Dubinov, A.E. New exact solutions of the equation of non-linear dynamics of a lattice of electronic vortices in plasma in the framework of electron magnetohydrodynamics / A.E. Dubinov, I.N. Kitayev // Magnetohydrodynamics. — 2020. — V. 56, № 4. — P. 369–375.
- 15. Рахмелевич, И.В. Неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа–Ампера с двумя пространственными переменными / И.В. Рахмелевич // Изв. вузов. Математика. — 2023. — № 2. — С. 66–80.
- 16. Polyanin, A.D. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs / A.D. Polyanin, A.I. Zhurov. — Boca Raton ; London : CRC Press, 2022. — 401 p.
- 17. Овсянников, Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л.В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.
- 18. Косов, A.A. Метод редукции и новые точные решения многомерного уравнения нелинейной теплопроводности / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2022. — T. 58, № 2. — С. 185–191.
- 19. Косов, A.A. О точных решениях обобщённого уравнения Ричардса со степенными нелинейностями / А.А. Косов, Э.И. Семенов // Дифференц. уравнения. — 2020. — T. 56, № 9. — С. 1153–1163.
- 20. Аксенов, А.В. Обзор методов построения точных решений уравнений математической физики, основанных на использовании более простых решений / А.В. Аксенов, А.Д. Полянин // Теор. мат. физика. — 2022. — Т. 211, № 2. — С. 567–594.
