Везде

RAS MathematicsДифференциальные уравнения Differential Equations

  • ISSN (Print) 0374-0641
  • ISSN (Online) 3034-5030

On regularization of the classical optimality conditions in the convex optimization problems for Volterra-type systems with operator constraints

You can
PII
10.31857/S0374064124020074-1
DOI
10.31857/S0374064124020074
Publication type
Article
Status
Published
Authors
V. I. Sumin
  • Affiliation: Derzhavin Tambov State University
M. I. Sumin
  • Affiliation: Lobachevskii Nizhnii Novgorod State University
Volume/ Edition
Volume 60 / Issue number 2
Pages
237-259
Abstract
We consider the regularization of classical optimality conditions (COCs) — the Lagrange principle (LP) and the Pontryagin maximum principle (PMP) — in a convex optimal control problem with an operator equality-constraint and functional inequality-constraints. The controlled system is specified by a linear functional-operator equation of the second kind of general form in the space , the main operator on the right side of the equation is assumed to be quasinilpotent.The objective functional of the problem is only convex (perhaps not strongly convex). Obtaining regularized COCs is based on the dual regularization method. In this case, two regularization parameters are used, one of which is “responsible” for the regularization of the dual problem, the other is contained in the strongly convex regularizing Tikhonov addition to the target functional of the original problem, thereby ensuring the correctness of the problem of minimizing the Lagrange function. The main purpose of regularized LP and PMP is the stable generation of minimizing approximate solutions in the sense of J. Warga. Regularized COCs: 1) are formulated as existence theorems for minimizing approximate solutions in the original problem with a simultaneous constructive representation of these solutions; 2) expressed in terms of regular classical functions of Lagrange and Hamilton–Pontryagin; 3) “overcome” the properties of the ill-posedness of the COCs and provide regularizing algorithms for solving optimization problems. Based on the perturbation method, an important property of the regularized COCs obtained in the work is discussed in sufficient detail, namely that “in the limit” they lead to their classical analogues. As an application of the general results obtained in the paper, a specific example of an optimal control problem associated with an integro-differential equation of the transport equation type is considered, a special case of which is a certain final observation problem.
Keywords
выпуклое оптимальное управление операторное ограничение функционально-операторное уравнение вольтеррова типа принцип Лагранжа принцип максимума Понтрягина некорректность регуляризация двойственность минимизирующее приближённое решение регуляризирующий оператор метод возмущений
Date of publication
19.09.2025
Year of publication
2025
Number of purchasers
0
Views
6

References

  1. 1. Алексеев, В.М. Оптимальное управление / В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. — М. : Наука, 1979. — 430 с. Alekseev, V.M. Optimal Control / V.M. Alekseev, V.M. Tikhomirov, S.V. Fomin. — New York : Plenum Press, 1987.
  2. 2. Аваков, Е.Р. О принципе Лагранжа в задачах на экстремум при наличии ограничений / Е.Р. Аваков, Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров // Успехи мат. наук. — 2013. — Т. 68, Вып. 3 (411). — С. 5–38. Avakov, E.R. Lagrange’s principle in extremum problems with constraints / E.R. Avakov, G.G. Magaril-Il’yaev, V.M. Tikhomirov // Russ. Math. Surveys. — 2013. — V. 68, № 3. — P. 401–433.
  3. 3. Арутюнов, А.В. Принцип максимума Понтрягина. Доказательство и приложения / А.В. Арутюнов, Г.Г. Магарил-Ильяев, В.М. Тихомиров. — М. : Факториал Пресс, 2006. — 144 с. Arutyunov, A.V. Printsip maksimuma Pontryagina. Dokazatel‘stvo i prilozheniya / A.V. Arutyunov, G.G. Magaril-Il’yaev, V.M. Tikhomirov. — Moscow : Faktorial Press, 2006. — 144 p.
  4. 4. Гамкрелидзе, Р.В. История открытия принципа максимума Понтрягина / Р.В. Гамкрелидзе // Тр. мат. ин-та РАН. — 2019. — Т. 304. — С. 7–14. Gamkrelidze, R.V. History of the discovery of the Pontryagin maximum principle / R.V. Gamkrelidze // Proc. Steklov Inst. Math. — 2019. — V. 304. — P. 1–7.
  5. 5. Некорректные задачи естествознания : сб. ст. / Под ред. А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского. — М. : Изд-во Моск. ун-та, 1987. — 303 с. Il-posed problems in the natural science : coll. art. / By eds. A.N. Tikhonov, A.V. Goncharskii. Moscow : MSU Press, 1987. — 303 p.
  6. 6. Васильев, Ф.П. Методы оптимизации : в 2-х кн. / Ф.П. Васильев. — М. : МЦНМО, 2011. — 1056 с. Vasil’ev, F.P. Metody optimizatsii / F.P. Vasil’ev. — Moscow : MCCME, 2011. Vol. 1: 620 p.; Vol. 2: 433 p.
  7. 7. Сумин, М.И. Регуляризованная параметрическая теорема Куна–Таккера в гильбертовом пространстве / М.И. Сумин // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2011. — Т. 51, № 9. — С. 1594–1615. Sumin, M.I. Regularized parametric Kuhn–Tucker theorem in a Hilbert space / M.I. Sumin // Comput. Math. Math. Phys. — 2011. — V. 51, № 9. — P. 1489–1509.
  8. 8. Сумин, М.И. О некорректных задачах, экстремалях функционала Тихонова и регуляризованных принципах Лагранжа / М.И. Сумин // Вестн. рос. ун-тов. Математика. — 2022. — Т. 27, № 137. — С. 58–79. Sumin, M.I. On ill-posed problems, extremals of the Tikhonov functional and the regularized Lagrange principles / M.I. Sumin // Russ. Universities Reports. Mathematics. — 2022. — V. 27, № 137. — P. 58–79.
  9. 9. Сумин, В.И. Об итеративной регуляризации принципа Лагранжа в выпуклых задачах оптимального управления распределенными системами вольтеррова типа с операторными ограничениями / В.И. Сумин, М.И. Сумин // Дифференц. уравнения. — 2022. — Т. 58, № 6. — С. 795–812. Sumin, V.I. On the iterative regularization of the Lagrange principle in convex optimal control problems for distributed systems of the Volterra type with operator constraints / V.I. Sumin, M.I. Sumin // Differ. Equat. — 2022. — V. 58, № 6. — P. 791–809.
  10. 10. Сумин, В.И. О регуляризации принципа Лагранжа в задачах оптимизации линейных распределенных систем вольтеррова типа с операторными ограничениями / В.И. Сумин, М.И. Сумин // Изв. Ин-та математики и информатики Удмуртского гос. ун-та. — 2022. — Т. 59. — С. 85-113. Sumin, V.I. On regularization of the Lagrange principle in the optimization problems for linear distributed Volterra type systems with operator constraints / V.I. Sumin, M.I. Sumin // Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta. — 2022. — V. 59. — P. 85–113.
  11. 11. Фурсиков, А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения: учеб. пособие для вузов / А.В. Фурсиков. — Новосибирск : Научная книга, 1999. — 350 с. Fursikov, A.V. Optimal Control of Distributed Systems: Theory and Applications / A.V. Fursikov. — Providence : Amer. Math. Soc., 2000. — 305 p.
  12. 12. Tröltzsch, F. Optimal Control of Partial Differential Equations. Theory, Methods and Applications / F. Tröltzsch. — Providence; Rhode Island : Amer. Math. Soc., 2010. — 399 p. Tröltzsch, F. Optimal Control of Partial Differential Equations. Theory, Methods and Applications / F. Tröltzsch. — Providence; Rhode Island : Amer. Math. Soc., 2010. — 399 p.
  13. 13. Borzi, A. The Sequential Quadratic Hamiltonian Method. Solving Optimal Control Problems / A. Borzi. — Boca Raton : Chapman and Hall/CRC Press, 2023.
  14. 14. 14Tonelli, L. Sulle equazioni funzionali di Volterra / L. Tonelli // Bull. Calcutta Math. Soc. — 1929. — V. 20. — P. 31–48.
  15. 15. Тихонов, А.Н. О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики / А.Н. Тихонов // Бюлл. Московского ун-та. Секция А. — 1938. — Т. 1, № 8. — С. 1–25. Tikhonov, A.N. Functional Volterra-type equations and their applications to certain problems of mathematical physics / A.N. Tikhonov // Bull. Mosk. Gos. Univ. Sekt. A. — 1938. — V. 8, № 1. — P. 1–25.
  16. 16. Забрейко, П.П. Об интегральных операторах Вольтерра / П.П. Забрейко // Успехи мат. наук. — 1967. — Т. 22, № 1. — С. 167–168. Zabreiko, P.P. Integral Volterra operators / P.P. Zabreiko // Uspekhi Mat. Nauk. — 1967. — V. 22, № 1. — P. 167–168.
  17. 17. Шрагин, И.В. Абстрактные операторы Немыцкого — локально определённые операторы / И.В. Шрагин // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 227, № 1. — С. 47–49. Shragin, I.V. Abstract Nemyckii operators are locally defined operators / I.V. Shragin // Sov. Math. Dokl. — 1976. — V. 17. — P. 354–357.
  18. 18. Сумин, В.И. Функционально-операторные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами / В.И. Сумин // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 305, № 5. — С. 1056–1059. Sumin, V.I. Volterra functional-operator equations in the theory of optimal control of distributed systems / V.I. Sumin // Sov. Math. Dokl. — 1989. — V. 39, № 2. — P. 374–378.
  19. 19. Жуковский, Е.С. К теории уравнений Вольтерра / Е.С. Жуковский // Дифференц. уравнения. — 1989. — Т. 25, № 9. — С. 1599–1605. Zhukovskii, E.S. On the theory of Volterra equations / E.S. Zhukovskii // Differ. Equat. — 1989. — V. 25, № 9. — P. 1132–1137.
  20. 20. Corduneanu, C. Integral Equations and Applications / C. Corduneanu. — Cambridge; New York : Cambridge University Press, 1991. — 376 p.
  21. 21. Гохберг, И.Ц. Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и её приложения / И.Ц. Гохберг, М.Г. Крейн. — М. : Наука, 1967. — 508 с. Gohberg, I.C. Theory and Applications of Volterra Operators in Hilbert Space / I.C. Gohberg, M.G. Krein. — Amer. Math. Soc., 1970. — 378 p.
  22. 22. Бухгейм, А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи / А.Л. Бухгейм. — Новосибирск : Наука, 1983. — 207 с. Bughgeim, A.L. Volterra Equations and Inverse Problems / A.L. Bughgeim. — Utrecht : VSP BV, 1999.
  23. 23. Гусаренко, С.А. Об одном обобщении понятия вольтеррова оператора / С.А. Гусаренко // Докл. АН СССР. — 1987. — Т. 295, № 5. — С. 1046–1049. Gusarenko, S.A. On a generalization of the notion of Volterra operator / S.A. Gusarenko // Sov. Math. Dokl. — 1988. — V. 36, № 1. — P. 156–159.
  24. 24. 24Väth, M. Abstract Volterra equations of the second kind / M. Väth // J. Equat. Appl. — 1998. — V. 10, № 9. — P. 125–144.
  25. 25. Жуковский, Е.С. Абстрактные вольтерровы операторы / Е.С. Жуковский, М.Ж. Алвеш // Изв. вузов. Математика. — 2008. — № 3. — С. 3–17. Zhukovskii, E.S. Abstract Volterra operators / E.S. Zhukovskii, M.J. Alves // Russ. Mathematics. — 2008. — V. 52, № 3. — P. 1–14.
  26. 26. Сумин, В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами / В.И. Сумин. — Нижний Новгород : Изд-во Нижегородского ун-та, 1992. — 110 с. Sumin, V.I. Functional Volterra equations in the theory of optimal control of distributed systems / V.I. Sumin. — Nizhnii Novgorod : Izd-vo Nizhegorodskogo gosuniversiteta, 1992. — 110 p.
  27. 27. Сумин, В.И. Операторы в пространствах измеримых функций: вольтерровость и квазинильпотентность / В.И. Сумин, А.В. Чернов // Дифференц. уравнения. — 1998. — Т. 34, № 10. — С. 1402–1411. Sumin, V.I. Operators in spaces of measurable functions: The Volterra property and quasinilpotency / V.I. Sumin, A.V. Chernov // Differ. Equat. — 1998. — V. 34, № 10. — P. 1403–1411.
  28. 28. Сумин, В.И. Управляемые вольтерровы функциональные уравнения и принцип сжимающих отображений / В.И. Сумин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2019. — Т. 25, № 1. — С. 262–278. Sumin, V.I. Controlled Volterra functional equations and the contraction mapping principle / V.I. Sumin // Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN. — 2019. — V. 25, № 1. — P. 262–278.
  29. 29. Варга, Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Дж. Варга. М. : Наука, 1977. — 623 с. Warga, J. Optimal control of differential and functional equations / J. Warga. — New York : Acad. Press, 1972.
  30. 30. Сумин, М.И. Устойчивое секвенциальное выпуклое программирование в гильбертовом пространстве и его приложение к решению неустойчивых задач / М.И. Сумин // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2014. — Т. 54, № 1. — С. 25–49. Sumin, M.I. Stable sequential convex programming in a Hilbert space and its application for solving unstable problems / M.I. Sumin // Comput. Math., Math. Phys. — 2014. — V. 54, № 1. — P. 22–44.
  31. 31. Бакушинский, А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. М. : Наука, 1989. — 126 с. Bakushinskii, A.B. Iterative Methods for Solving Ill-Posed Problems / A.B. Bakushinskii, A.V. Goncharskii. — Moscow : Nauka, 1989. — 126 p.
  32. 32. Сумин, М.И. О регуляризации классических условий оптимальности в выпуклых задачах оптимального управления / М.И. Сумин // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. — 2020. — Т. 26, № 2. — С. 252–269. Sumin, M.I. On regularization of the classical optimality conditions in convex optimal control problems / M.I. Sumin // Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN. — 2020. — V. 26, № 2. — P. 252–269.
  33. 33. Сумин, М.И. Недифференциальные теоремы Куна–Таккера в задачах на условный экстремум и субдифференциалы негладкого анализа / М.И. Сумин // Вестн. рос. ун-тов. Математика. — 2020. — Т. 25, № 131. — C. 307–330. Sumin, M.I. Nondifferential Kuhn–Tucker theorems in constrained extremum problems via subdifferentials of nonsmooth analysis / M.I. Sumin // Russ. Universities Reports. Mathematics. — 2020. — V. 25, № 131. — P. 307–330.
  34. 34. Обен, Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения / Ж.-П. Обен: пер. с фр. — М. : Мир, 1988. — 264 с. Aubin, J.P. L’analyse non linéaire et ses motivations économiques / J.P. Aubin. — Paris : Masson, 1984. — 214 p.
  35. 35. Loewen, P.D. Optimal Control via Nonsmooth Analysis / P.D. Loewen. — Providence, Rhode Island, USA : Amer. Math. Soc., 1993. — 153 p.
  36. 36. Jorgens, K. An asymptotic expansion in the theory of neutron transport / K. Jorgens // Comm. Pure Appl. Math. — 1958. — V. 11, № 2. — P. 219–242.
  37. 37. Морозов, С.Ф. Нестационарное интегродифференциальное уравнение переноса / С.Ф. Морозов // Изв. вузов. Математика. — 1969. — № 1. — С. 26–31. Morozov, S.F. Non-stationary integro-differential transport equation / S.F. Morozov // Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika. — 1969. — № 1. — P. 26–31.
  38. 38. Кузнецов, Ю.А. Корректность постановки смешанной задачи для нестационарного уравнения переноса / Ю.А. Кузнецов, С.Ф. Морозов // Дифференц. уравнения. — 1972. — Т. 8, № 9. — С. 1639–1648. Kuznetsov, Yu.A. Correctness of the mixed problem statement for the nonstationary transport equation / Yu.A. Kuznetsov, S.F. Morozov // Differ. uravneniya. — 1972. — V. 8, № 9. — P. 1639–1648.
QR
Translate

Indexing

Scopus

Scopus

Scopus

Crossref

Scopus

Higher Attestation Commission

At the Ministry of Education and Science of the Russian Federation

Scopus

Scientific Electronic Library